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Sonstiges |
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Unterseite " Sonstiges " zu www.topsurfen.org
Sieben wichtige Ergänzungen zur Homepage
Copyright
© Dr.
Michael Willamowski
Was ist eine physikalische Groesse?
Abgeleitete Einheiten des Internationalen Einheitensystems
Vorsilben fuer Einheiten und deren Bedeutung
Griechische Buchstaben für physikalische Einheiten
Gebraeuchliche mathematische Symbole in der Physik
Arbeit mit dem elektronischen Taschenrechner
Was beinhaltet die Aussage: " Eine Strecke betraegt 100 Meter? " Es geht da um eine Entfernung. Zum Beispiel um die Kurzstrecke in der Leichtathletik. Um noch mehr herauszufinden, schreiben wir folgendes: Die Strecke beträgt Hundert mal 1 Meter. Wie wir wissen, ist der Meter ein Mass für die Länge. Der Meter dient uns also als Vergleichsmass. Er ist die Basiseinheit für die Messung von Längen. In der Physik ist der oder das ( beides richtig ) Meter der Name einer von mehreren Einheiten. Du kannst auch sagen: " der Name einer Grössenart ". Was das Gleiche bedeutet. Neben dem Meter mit dem Einheitenzeichen " m " gibt es noch weitere andere Einheiten ( Basisgrössen ) wie Masse mit dem Einheitenzeichen " kg " für Kilogramm oder die Zeit mit dem Einheitenzeichen " s " für Sekunde. Das alles ist noch gar nicht so schwer. Aber jetzt geht es weiter:
| Wir betrachten nun wieder die obige Gleichung und
verändern sie, wobei die Aussage gleich bleibt: |
|
| • Länge = 100 mal Meter. | |
| • Länge = 100 m. | |
| • l = 100 m. |
• Basiseinheit,
Einheitenzeichen,
• Name der Einheit und Namensymbol
bleiben. Damit kommen wir ganz gut zurecht. Das kannst Du in den folgenden Ausführungen nachprüfen.
In der nachfolgenden Tabelle sind die Basisgroeßen der Physik aufgelistet. Das sind die gültigen 7 Einheiten ( SI- Einheiten) des Internationalen Einheitensystems. Sie wurden von der Generalkonferenz für Masse und Gewichte festgelegt und können nicht aus anderen ( einfacheren ) Grössen abgeleitet werden. Sie werden als gegeben hingenommen. Die ersten fünf Basiseinheiten solltest Du Dir vielleicht gut merken. ( Der Einfachheit halber wird in den folgenden Übersichten nicht zwischen Skalaren und Vektoren unterschieden, solche Merkmale für die Einheiten bleiben also bislang unberücksichtigt ).
| SI- Basiseinheiten | ||
| Name der Einheit und Namensymbol | SI- Basiseinheiten und Einheitenzeichen | Definition oder Umrechnung |
| Länge / l, s, h, b, r | Meter / m | 1 m = 100 cm |
| Masse / m | Kilogramm / kg | 1 kg = 1000 g |
| Zeit / t | Sekunde / s | 1 h = 60 min ( h = hora = Stunde ) |
| Stromstärke / I | Ampere / A | 1 A ≈ 10¹⁸ Elektronen pro Sekunde |
| Temperatur / T | Kelvin / K | 0 K = - 273 ⁰ Celsius |
| Lichtstärke / lv | Candela / cd | 1 cd |
| Stoffmenge / n | Mol / mol | 1 mol ≈ 6 × 10²³ Teilchen |
Aus
den SI- Basisgrössen lassen sich viele andere Grössen
wie die
" abgeleiteten Einheiten des Internationalen Einheitensystems " in der
nächsten Tabelle entwickeln.
Zu den abgeleiteten Grössen gehören z. B. Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Die Beschleunigung ergibt sich aus dem Quotienten von Länge einer Strecke und dem Quadrat der Zeit. Die Einheit der Beschleunigung wird in Meter pro Sekundenquadrat ausgedrückt. Alle oben beschriebenen physikalischen Einheiten werden zum Messen benutzt. Und sie werden in den meisten Ländern der Welt eingesetzt. Bei den Experimenten der Forscher können nun sehr kleine und sehr grosse Masszahlen auftreten. So beträgt die Zeit, in der das Licht einen Meter zurücklegt sage und schreibe:
|
3
mal 0,000 000 001
Sekunden
|
Du wirst vermuten, dass es umständlich wäre mit Zahlen in dieser Schreibweise zu rechnen. Sie sind zu klein oder zu groß, -- sie sind auch schwer zu lesen. Deshalb verwendet man für derartige Zahlen die Dir bereits bekannte Potenzschreibweise. Dabei wird die Stellung des Dezimalpunkts durch eine Potenz von 10 dargestellt. Das sieht schon besser aus. Für das obige Beispiel ergibt sich dann:
| => 3 mal 10 -⁹ Sekunden |
Wie Du weisst, bedeutet der negative Index " Eins durch...",
| also " 10-² = 1 durch 10 ² "-- und das ist nichts weiter als " 1 durch Hundert " |
Die Physiker gehen noch einen Schritt weiter, ihnen ist es auch zur Gewohnheit geworden Einheitenvorsätze zu benutzen. Mit Einheitenvorsilben oder Einheitenvorsätzen werden, wie " gesagt " dezimale ( zehnfache ) Vielfache und dezimale ( zehnfache ) Teile von SI- Einheiten gebildet. Wir setzen Vorsätze vor die Namen der Einheiten. Zu jedem Vorsatz gibt es ein Vorsatzzeichen, etwa " M " für Mega ( 10 ⁶ ), aber es darf je Einheit nicht mehr als ein Vorsatz verwendet werden. Für ganze " 1000 Volt " schreiben wir also einfach " ein Kilovolt " ( KV ). Und damit Dir alles noch einleuchtender und klarer wird, kannst Du aus der nächsten Tabelle nicht nur Vorsilben für Vielfache und Teile von diversen Einheiten ersehen, Du wirst wahrscheinlich auch über die dazugehörigen Beispiele verblüfft sein.
| Vorsatz bzw. Vorsilbe mit Kurzzeichen und Bedeutung | Beispiel für Vorsätze von Masszahlen |
| Atto / a / 10-¹⁸ | 1 aWs ( Attowattsekunde) Grenze der Lichtempfindlichkeit Deines Auges |
| Femto / f / 10-¹⁵ | 1 fm ( Femtometer ) "Größe" von Protonen und Neutronen |
| piko / p / 10-¹² | 100 pK ( Pikokelvin ) Tiefste im Labor je erreichte Temperatur |
| Nano / n / 10-⁹ | 3 ns ( Nanosekunden ) Zeit, in der das Licht einen Meter zurücklegt |
| Mikro /µ / 10-⁶ | 1 µm ( Mikrometer ) etwa die Länge einer Bakterie |
| Milli / m / 10-³ | 55 mbar ( Millibar ) etwa der Luftdruck in 20 Kilometer Höhe über der Erde |
| Zenti / c / 10-² | 2 cs ( Centisekunden ) das entspricht einer Kameraverschlusszeit |
| Dezi / d / 10-¹ | 1 dm ( Dezimeter ) das ist etwa die Länge Deines Handys ( 10 cm ) |
| Deka / dam / 10¹ | 1 dam ( Dekajoule ) ist die kinetische Energie eines fliegenden Golfballs |
| Hekto / hl / 10² | 1 hPa ( Hektopascal ) entspricht einem Millibar ( hPa Einheit für Barometer- Skala ) |
| Kilo / k / 10³ | 1 kg ( Kilogramm ) sind 1000 Gramm, so viel wiegt ein Päckchen Mehl |
| Mega / M / 10⁶ | 6,3 Mm ( Megameter ) Erdradius und 1,7
Mm Mondradius 94,2 Mhz ( Megahertz ) sind 94,2 mal 10 ⁶ Hertz |
| Giga / G / 10⁹ | 1 GJ ( Gigajoule ), ein Blitz setzt etwa so viel Energie um |
| Tera / T / 10¹² | 9,46 Tkm ( Terakilometer ) ist die Länge eines Lichtjahres |
| Peta / P / 10¹⁵ | 1 Pm ( Petameter ), diesen Weg legt das Licht in einem Monat zurück |
Am Anfang dieses Kapitels
haben wir uns
mit einem wichtigen Längenmass, dem Meter, befasst. Der oder
das
Meter ist die SI- Einheit der Länge. Früher gab es
für
die Länge verschiedene Maßeinheiten, die je nach
Land
unterschiedlich waren. In der Physik wird heute weltweit meist jedoch nur noch
die
Einheit Meter verwendet. Für verschiedene Messobjekte bietet
es
sich allerdings an, einen Bruchteil oder ein Vielfaches einer
Maßeinheit einzusetzen. Es wurde, wie wir schon wissen, eine
zehnfache ( dezimale ) Vervielfachung und Unterteilung des Meters
festgelegt. Als Bruchteile des Meters verwenden wir das Zentimeter ( cm
) und das Millimeter ( mm ). Eine Übersicht für die
genannten
Zusammenhänge findest Du in der nächsten Tabelle. (
Nach
Belieben könntest Du ähnliche Tabellen auch
für andere
Einheiten wie für Zeitmaße,
Flächenmaße,
Raummaße und Massen selbst erstellen ).
| km | m | dm | cm | mm |
| 1 | 10³ | 10⁴ | 10⁵ | 10⁶ |
| 10-³ | 1 | 10 | 10² | 10³ |
| 10-⁴ | 10-¹ | 1 | 10 | 10² |
| 10-⁵ | 10-² | 10-¹ | 1 | 10 |
| 10-⁶ | 10-³ | 10-² | 10-¹ | 1 |
( Bekanntlich gilt 10⁰ = 1 )
Leider gibt es auch hier
wieder
Besonderheiten, auf welche wir jetzt hinweisen.
Die Physiker benutzen nämlich für sehr kleine
Längen typische Einheiten mit eigenen Namen.
Das Ångström wird in der Optik benutzt. 1 Å = 10 -⁸ cm.
Für
Röntgenstrahlen und Gammastrahlen wird bisweilen die X-
Einheit
angewendet:
1 X = 10
-¹¹ cm.
Dein Optiker gibt für Linsen statt der Brennweite die Stärke der Brechkraft an. Wird die Brennweite in Metern ( m ) gemessen, so gilt für die Stärke der Brechkraft der Kehrwert der Brennweite. Diese wird Dioptrie ( m -¹ ) genannt. Eine Linse mit z. B. 25 cm Brennweite hat demnach eine Stärke von 4 Dioptrien ( " 1 geteilt durch 0,25 " ). Sammellinsen haben positive, Zerstreuungslinsen negative Stärken oder Dioptrien.
Dir ist sicher das deutsche
Alphabet mit
seinen lateinischen Großbuchstaben und Kleinbuchstaben
vertraut.
Du weißt auch, dass durch ein Alphabet die Reihenfolge der
Buchstaben einer
Sprache bestimmt wird. Wir nennen es das " Abc.. ". So liegt es nahe,
die lateinischen Buchstaben zur Kennzeichnung von physikalischen
Grössen heranzuziehen. Das ist im Allgemeinen der Fall. So
steht
das kleine " a " für Beschleunigung, das große
"
F " für Kraft, das kleine " l " für Länge
und das
große " V " für Volumen. Das " a " von
Beschleunigung
rührt vom englischsprachigen " acceleration " her, das " F "
wird
sich vom englischen " force " ableiten. Solches soll uns nicht weiter
stören. Auch die Doppeldeutigkeit von klein " m " als
Längenmass für Meter und als Namensymbol für
die Einheit
Kilogramm nehmen wir in Kauf. Auch wenn das nicht die einzigen "Doppeldeutigkeiten" oder
"Vieldeutigkeiten" in der Physik sind.
Beim Studium physikalischer Erscheinungen in der unbelebten Natur
tauchen aber auch Zeichen auf, die uns das Leben schwer machen. Diese
haben nichts mit der eigentlichen Physik zu tun. Sie sind uns
normalerweise nicht vertraut, manchmal wissen wir beim Aussprechen auch
nicht, "wo da
die Betonung liegt". Sie werden aber weltweit benutzt. Deshalb
werden wir uns hier und jetzt mit ihnen beschäftigen. Wie Du
vielleicht schon geahnt hast, es handelt sich um die griechischen
Buchstaben.
In der nächsten Tabelle sind die Zeichen
zusammengefaßt,
die Dir wahrscheinlich in den Klassen 7 bis 10 begegnen werden. Wir
kommen immerhin auf zwölf griechische Buchstaben für
naturwissenschaftliche Gegebenheiten. Vermutlich werden später
noch einige hinzugefügt werden ( müssen ). Das
hängt vom
weiteren
Fortschritt der vorliegenden Homepage ab.
Nicht weniger weittragend wie die griechischen
Buchstaben sind die mathematischen
Symbole. Beim Studium der
mathematischen
Symbole triffst Du auf Zahlen, geometrische Zeichen und
Symbole
aus der
Logik
und der Mengenlehre. Diese "Sinnbilder" werden Dir anfangs die Arbeit
etwas erschweren. Wenn Du Dich aber erst einmal an sie gewöhnt
hast, bieten sie
Dir enorme Vorteile. Lerne sie jetzt und heute!
Diese mathematischen Symbole entwickelten sich etwa vom 16. Jahrhundert
an und
trugen zum schnelleren Fortschritt der modernen Mathematik bei. Wegen
ihrer
Nützlichkeit sind sie international anerkannt und im Gebrauch.
Für die
Schulphysik bis zur 10. Klasse sind einige davon besonders
empfehlenswert.
Diese sind in der nächsten Tabelle in einer alphabetischen
Reihenfolge
aufgelistet. Der
Sinn der Zeichen wird erläutert und ihre Bedeutung wird kurz
beschrieben.
Der absolute
Betrag von ( Vektor ) ā
ergibt sich zu "| ā |" = a. In der Physik
kennzeichnet der Betrag des Kraftvektors die Größe
einer Kraftwirkung. Du
kannst Dir darunter die Länge des Vektors ( ohne eine
vorgegebene Richtung ) vorstellen.
Man nennt die Länge dann einen Skalar. -- In der Mathematik
beschreibt der
absolute Betrag den Wert einer Größe ungeachtet
ihres Vorzeichens. Zahlen, die
sich nur durch ihr Vorzeichen unterscheiden, haben demnach den gleichen
absoluten Betrag.
Jeder Punkt in einem zweidimensionalen kartesischen
Koordinatensystem erhält durch die Werte "x" und "y" eine
eindeutige Adresse
wie für ( 3/4 ) zuerst x, dann y.
| Beziehungen ( Relationen ) zwischen Zahlen oder allgemein Objekten: | ||
| Gleichheitszeichen: " = ". | Grösser als: " > ". | |
| Kleiner als: " < ". | Parallel zu: " | | ". | |
| Rechtwinklig zu: " ⊥ " ( senkrecht auf ). | Zeichen für ungleich: " ≠ " | |
| Fast gleich " ≈ " |
Ein zusätzlicher Hinweis für das Gleichheitszeichen " = ":
2. In der Algebra verbindet das Symbol " = " zwei Seiten einer Gleichung, die in mathematischer Beziehung zueinander stehen wie für " 2x + y = 8. " Das Wort " gleich " kann sich also auf sehr unterschiedliche Gegebenheiten beziehen.
Der griechische Grossbuchstabe Delta
"∆" gilt als mathematisches Symbol für eine endliche
Änderung wie bei "∆" T für Temperatur 2 (
Endtemperatur
)
-
Temperatur 1 ( Anfangstemperatur ) bei Körpern mit zwei
unterschiedlichen
Temperaturen.
Ein Dreieck
mit den Eckpunkten A, B, C wird mit "∆" ABC bezeichnet, die den
Eckpunkten gegenüber liegenden Seiten mit a, b, und c. Die
Winkel "≮" des Dreiecks heissen Alpha α , Beta
β und
Gamma γ. Sie ergeben zusammengezählt 180 Grad.
Der Durchmesser
( d )
mit dem Zeichen "⊘"
ist eine
durch den Mittelpunkt z. B.
eines
Kreises verlaufende Sehne. Er ist doppelt so lang wie der Radius " r ".
Eine irrationale Zahl, die zu den reellen Zahlen gehört und mit
" e
" bezeichnet wird, nennt sich Eulersche Zahl. Sie ist eine Konstante,
eine unveränderliche Zahl. Sie spielt beim Wachstum in der
Natur
eine Rolle. Der radioaktive Zerfall kann auch mit ihr beschrieben
werden.
Aus einem Punkt entsteht eine Gerade " / ",
wenn Du ihn in eine Richtung verlängerst. Eine gerichtete Gerade wird zu einem Strahl oder Zeiger.
| Mathematische Zeichen für bekannte und unbekannte Grössen: | " a " und " b " stehen ( gemäß der Gepflogenheit ) meist stellvertretend für bereits bekannte Grössen. |
| " x " und " y " stehen meist stellvertretend für anfangs unbekannte Grössen. Das " x " kann auch eine unabhängige Variable sein, dann ist " y " die abhängige Variable. |
| Zu den Grundrechnungsarten gehören: | Das Zusammenzählen ( Addieren ) " + ". Dabei wird etwas vermehrt. |
| Das Abziehen ( Subtrahieren ) " - ". Dabei wird etwas weniger. -- Beide nennen sich " Strichoperatoren " und das Rechnen mit ihnen "Strichrechnung". | |
| Beim Vervielfachen ( Multiplizieren ) " · " oder " x " oder auch " * " entsteht ein grösseres Produkt. | |
| Beim Teilen (
Dividieren ) " : " oder " / " wird eine Zahl durch eine
andere geteilt. So entsteht ein Bruch. Eine Division durch Null ist nicht möglich.
|
Zur Unterscheidung von veränderlichen ( variablen ) Elementen derselben Art dient ein Index wie ein Dach und Oberstrich bei " â " und " ā " oder ( bei mehreren Elementen ) eine kleine natürliche Zahl unten rechts ( 1, 2, 3...) wie für A₁, A₂, A₃...
Was in Klammern
(.. )
steht wird zuerst addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert.
Erst dann folgen Punktrechnung und danach Strichrechnung.
Ein Radius ( r ) rotiert um seinen Endpunkt, so entsteht ein Kreis
" ☉ ".
Grundzahl ( Basis ) der natürlichen Logarithmen
ist die oben erwähnte Eulersche Zahl " e ".
Potenzzeichen
³ zum Bilden
von
Potenzen ( im Beispiel " hoch 3 " )
Wurzelzeichen ∛ zum
Ziehen von
Wurzeln ( hier im Beispiel " Wurzel 3 = Kubikwurzel " )
| Beispiele: | Sinus 0 Grad = 0, |
| Sinus
30 Grad = ½, |
|
| Sinus 45 Grad = ½√ 2 = √½ (= 0,7 ), | |
| Sinus 90 Grad = 1. |
AB mit einem Strich darüber wird Strecke genannt.
Und so weiter "..." zeigt Dir wie im folgenden Beispiel an, dass z. B. Pi " π " = 3,14159265...ein unendlicher Dezimalbruch ist. Meist genügt " π = 3,14.." bzw. " π = 3,14 " für Deine Rechnungen.
Schnell noch ein Hinweis zum Runden ( Aufrunden und Abrunden ) von Konstanten und Meßergebnissen: Die erste wegzulassende Stelle bei Dezimalbrüchen entscheidet, ob aufgerundet oder abgerundet wird. Ist sie 0, 1, 2, 3, oder 4, so wird abgerundet. Ist sie 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet. Das spielt beim sinnvollen Einsatz von elektronischen Taschenrechnern eine wichtige Rolle.
Das Zeichen für unendlich ist eine liegende Acht " ∞ ".
Jede beliebige ebene Figur mit vier Eckpunkten heisst Viereck.
Einen Winkel " ≮ " bilden zwei Strahlen, die von demselben Punkt ausgehen. Kleinere Winkel heissen spitze Winkel, grössere Winkel heissen stumpfe Winkel.
| Zahlenarten oder Zahlenmengen: | |
| Natürliche Zahlen "N" sind alle positiven, ganzen Zahlen. Vor denen steht ein Plus, das Du aber weglassen kannst. | |
| Ganze Zahlen "Z" sind alle positiven und negativen ganzen Zahlen. Diese werden üblicherweise in der Physik als Skalen-Massstab für Diagramme eingesetzt. | |
| Rationale Zahlen "Q" besitzen eine endliche oder positive Bruchdarstellung bzw. Dezimaldarstellung. | |
| Reelle Zahlen "R" können in jeder Form als Dezimalbruch dargestellt werden. Mit diesen reellen Zahlen rechnet der Taschenrechner. |
Zuordnung ( Implikation ) nennt sich eine logische Verknüpfung zweier Aussagen A und B in der Mathematik, wie bei A => B, was " aus A folgt B " bedeutet.
In der Elektrotechnik können "Zuordnungen" der folgenden Form im Sinne von Umwandlungen auftreten.
| E ( elektrisch ) => E (thermisch ), das heisst elektrische Energie wird in thermische Energie umgewandelt wie beim Ohmschen Widerstand für Strom in einem Leiter. | |
| E ( elektrisch ) <=> E ( magnetisches Feld ), das heisst elektrische Energie wird in Energie des magnetischen Feldes umgewandelt und umgekehrt, magnetische Energie wird in elektrische umgewandelt. So etwas erfolgt bei der Selbstinduktion von Spulen. |
Grundlegende Hinweise zur Arbeit mit elektronischen Taschenrechnern.
Wir beginnen mit einer
Übung für das Eingeben von Zahlen in den elektronischen Taschenrechner.
Auf dem Taschenrechner wird ein Dezimalpunkt(dot=Punkt) anstelle des
geläufigen Dezimalkommas genutzt!Die Tasten "C" und "CE" dienen zum Löschen der Eingaben. Clear ist englisch und heisst löschen.
Wird der Bereich der reellen Zahlen verlassen, so erscheint die Anzeige "Error".
Wird die Kapazität des Rechners überschritten, so erscheint die Anzeige "Infinity" ( ∞ ).
Der gern online zu Deiner Verfügung gestellte elektronische Taschenrechner ist für Demonstrationszwecke und zum Üben gedacht. Für jederzeit fehlerfreie Berechnungen wird keine Garantie und Haftung übernommen!
| Zahl | Tastenfolge | Anzeige |
| 7,02 | 7 . 02 | 7.02 |
| - 4,85 | 4 . 85 +/- | - 4.85 |
| - 0,084 | . 084 +/- | - 0.084 |
| 1/3 | 3 1/x | 0.33... |
| 1/0,25 | . 25 1/x | 4 |
| 7 ³ | 7 x ³ | 343 |
| - 7 ³ | 7 +/- x ³ | - 343 |
| 6 ² | 6 x ² | 36 |
| 2 ⁶ | 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = | 64 |
| √ 81 | 81 Sqr (square) | 9 |
| √ 0,196 | .196 Sqr | 0.44 |
| √36+13 | 36 + 13 = Sqr | 7 |
| √ - 9 | 9 +/- Sqr | #Error# Error=Fehler |
| 6 ! (1*2*3*4*5*6) | 6 x! | 720 Dezimaldarstellung |
| 10 ! (1*2*3*4... *10) | 10! | 3 628 800 Dezimaldarstellung |
| 100 ! (1*2*3*4... *100) | 100 x! | 9.33 e ⁺¹⁵ exponenzielle Schreibweise |
| 200 ! (1*2*3*4... *200) | 200 x! | Infinity Infinity=unendliche Größe |
| 29 (Dezimalzahl) | 29 bin | 11101 (Dualzahl) |
| 874 (Dezimalzahl) | 874 hex | 34A (Hexadezimalzahl) |
| sin 0 ° | (∡-argument: Deg) 0 sin | 0 |
| cos 0 ° | (∡-argument: Deg) 0 cos | 1 |
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit dem Taschenrechner
Ganz merkwürdig ist noch die Ziffer 0. Du kannst die Null zu allen Zahlen addieren, ohne dass sich der Wert der Zahl ändert. Also
"9" - "4" = "5",
was jeder weiß und wir mit dem Taschenrechner bestätigen. Alle natürlichen Zahlen sind positive Zahlen, die größer als Null sind.
Anschaulich
lassen sich Zahlen am Zahlenpfeil darstellen. Damit wird alles
deutlicher. So hat jede Zahl, die rechts vom Nullpunkt liegt, ein
Spiegelbild auf der linken Seite vom Nullpunkt. Auf diese Weise sind
diese Zahlen auch geordnet.
In der Abbildung kann man das durch das mathematische Symbol "<"
veranschaulichen, welches "kleiner als" bedeutet:
-2<-1<0<+1<+2<+3 und so weiter.
Bei einer Subtraktion dürfen beide Zahlen nicht vertauscht
werden:
"4" - "9" = "-5"
ergibt als Ergebnis, wie zu sehen, "-5". Das Ergebnis dieser Subtraktion ist keine natürliche Zahl mehr. Die natürlichen Zahlen lassen sich durch die negativen Zahlen erweitern. Auf dem Zahlenstrahl unserer Abbildung liegen alle negativen Zahlen links von der Null. Alle negativen Zahlen sind kleiner als Null. Sie haben alle das Vorzeichen "-". Auch positive Zahlen haben ein Vorzeichen, nämlich ein "+". Dieses Vorzeichen kannst Du aber weglassen. Die positiven Zahlen und die negativen Zahlen ergeben zusammen mit der Null die Menge der ganzen Zahlen. Nach dieser Definition gilt die Null als ganze Zahl. Unser Fazit zum Schluss: Auf einem Zahlenstrahl lassen sich alle ganzen Zahlen abbilden.
Die Multiplikation
gehört auch zu
den
Grundrechenarten. Das Operationszeichen der Multiplikation ist der
Punkt •
, oder der Stern *,
oder das Kreuz x.
Auf unserem
Rechner ist es der Stern *.
Alle
drei Zeichen werden "mal" genannt. Die Multiplikation von zwei
natürlichen Zahlen ergibt eine dritte natürliche
Zahl. Solche
mathematische Operation ist immer durchführbar, wie
für
"2" * "4" = "8".
Du kannst die beiden Zahlen
vertauschen.
Das Ergebnis ist ebenfalls 8. Werden mehr als zwei Zahlen
multipliziert, spielt die Reihenfolge der Multiplikation keine Rolle,
hier gilt:
"3" * "5" * "7" = "7" * "3" * "5" =
"105".
Die Eins und die Null haben
bei der
Multiplikation eine besondere Aufgabe. Du kannst alle Zahlen mit Eins
multiplizieren, ohne dass der Wert der Zahl verändert
wird:
"35" * "1" = "1" * "35" = "35".
Wenn Du irgendeine Zahl mit
Null
multiplizierst, erhälst Du als Ergebnis wieder Null:
"57" * "0" = "0".
Probier das an unserem Taschenrechner doch gleich einmal aus!
Neben der Addition, der
Subtraktion und
der
Multiplikation gehört auch die Division zu den vier
Grundrechenarten. Das Operationszeichen der Division ist ":" oder "/".
Die Division wird "teilen" oder "geteilt durch" genannt. Auf manchen
Taschenrechnern kann eine Division auch durch weitere seltenere Zeichen
dargestellt sein. Division und Multiplikation sind entgegengesetzt
zueinander. Die Multiplikation kann durch eine Division
rückgängig gemacht werden:
"7" * "9" = "63"
"63" / "7" = "9".
Eine Division
lässt sich, wie auch
eine Subtraktion, nicht in jedem Fall ausführen. Die
Aufgabe
"17 / "3" ???
hat im Bereich der
natürlichen
Zahlen
keine Lösung. Weitere Überlegungen zu dieser Aufgabe
erfolgen
später im Text.
Wie schon bei der Subtraktion darfst Du die Reihenfolge der Werte in
den Divisions-Aufgaben nicht vertauschen. Es käme ein anderes
Ergebnis heraus. Auch bei der Division hat die Null eine Besonderheit.
Durch Null darf nämlich nicht dividiert werden. Für
die
Aufgabe
"6" / "0" ???
zeigt Dein Taschenrechner einen Fehler an. Das kann in Form von "E" oder "#Error#" geschehen. "E" ist hier die Abkürzung für das englische Wort Error(Fehler).
Natürlich wollen
wir auch
Rechnungen
durchführen, bei denen mehrere Grundrechenarten gemeinsam
vorkommen, wie in
"3" +
"6" / "2".
Gehst Du, wie beim Lesen,
von links nach
rechts vor und führst zuerst die Addition und dann die
Division
durch, so erhälst Du 4,5 als Ergebnis. Rechnest Du jedoch
zuerst
die Division aus und dann die Addition, so erhälst Du 6 als
Ergebnis. Daraus folgt, dass die Reihenfolge der Berechnungen nicht
gleichgültig ist. Man konnte sich darauf einigen, bei
derartigen
Rechnungen Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion
durchzuführen. Hier gilt kurz gesagt der berühmte
Satz:
"Punktrechnung (• und :)
geht vor Strichrechnung (+ und -)". Wir erinnern nochmal daran, dass
für die Grundrechenarten sehr unterschiedliche mathematische
Symbole benutzt werden. Im obigen Beispiel ist also allein
"3" + "6" / "2" = "6"
ein richtiges Ergebnis. Diesen Betrag erhälst Du, wenn Du zuerst 6 / 2 in die Tastatur des Rechners eintippst und dann 3 dazu zählst. Also Punktrechnung vor Strichrechnung!
In diesem Abschnitt widmen
wir uns der
Speicherrechnung. Das sind Berechnungen unter Einsatz des Speichers im
elektronischen Taschenrechner. Da sind die Speichertasten "M+"
und "MR" rechts unten auf dem Rechner gefragt. Diese Speichertasten helfen bei
der Aufbewahrung von Zwischenergebnissen im Taschenrechner und
zur späteren Weiterverarbeitung. Durch Drücken der
Taste M+
wird die Zahl auf dem Display in den Speicher geladen. Durch
Drücken der Taste MR erfolgt ein Rückruf aus dem
Speicher in
das Eingaberegister. Um das alles zu veranschaulichen wählen
wir
folgendes Beispiel:
(5 * 2) + (6 * 3) - (2 * 4) = 20
Eingabe: "6" * "3" = "18" "M+"
Eingabe: "2" * "4" = "8" +/- "M+".
Eingabe: "MR"
Beim Abziehen einer Zahl vom Speicher wird zuerst die Taste +/- und dann die Taste M+ gedrückt. Das Endergebnis erhälst Du durch Drücken von MR.
Zur Übung hier noch eine zweite Aufgabe, die ähnlich gelöst wird:
Der Bereich der ganzen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Subtraktion. Allerdings ist eine Division mit den ganzen Zahlen nicht immer möglich. Die Zahlenmenge lässt sich aber wiederum erweitern, so dass sie auch in Bezug auf die Division abgeschlossen ist. Das gelingt durch Einführen von Brüchen. Auch Bruchzahlen lassen sich auf dem uns schon bekannten Zahlenpfeil darstellen. Jene Brüche, deren Werte keine ganzen Zahlen bilden, liegen auf dem Zahlenstrahl zwischen den ganzen Zahlen. Also zwischen -1 und 0, 0 und +1, +2 und +3 und so weiter.
Alle Bruchzahlen zusammen bilden die Menge der rationalen Zahlen. Man sagt dazu auch: Die rationalen Zahlen bilden eine Obermenge der ganzen Zahlen. Schauen wir uns nun die Brüche näher an. Was sind Brüche? "1/2", "1/3", "1/4" ...(und so weiter) sind Brüche. Du kannst "1/2" als "1" durch "2" oder ein halb lesen. Der Bruchstrich wirkt hier wie ein Divisionszeichen. Die "1" heißt dabei Zähler und die "2" heißt Nenner des Bruchs. Wenn entweder der Zähler oder der Nenner negativ ist, so ist der gesamte Bruch negativ:
-1/3 = 1/-3 = - 1/3
Sind sowohl der Zähler wie auch der Nenner negativ, so ist der gesamte Bruch wieder positiv!
-1/-4 = 1/4.
Das Dezimalsystem, oder auch Zehnersystem genannt, ist das heute überall gebräuchliche Zahlensystem. Es beruht auf der Grundzahl 10 und somit auf den Zehnerpotenzen. Du kannst mit Dezimalzahlen und Dezimalbrüchen bedeutend leichter rechnen als mit Bruchzahlen. Jede rationale Zahl läßt sich als Bruchzahl schreiben. Ein Dezimalbruch ist die Summe von Brüchen, deren Nenner Potenzen von 10 sind. Die Zahl 3,75 z.B. ist ein Dezimalbruch. Diese Zahl hat
3 Einer
7 Zehntel
5 Hundertstel.
Du kannst die Zahl auch
folgendermaßen schreiben:
3,75 = 3 * 1 + 7
* 1/10 + 5 *
1/100.
Und Du kannst einen
Dezimalbruch auch
als
einen gemischten Bruch darstellen:
3,75 = 3 + 7/10 +
5/100 = 3 + 75/100 = 375/100.
Den zu der Bruchzahl
375/100
ursprünglich gehörenden Dezimalbruch erhälst Du, indem Du den
Zähler
durch den Nenner teilst. Für die Umwandlung von
Brüchen in
Dezimalbrüche gilt:
3/2 = 1,5
9/4 = 2,05
11/8 = 1,35.
Wie bereits erwähnt, können wir mit Dezimalzahlen leichter rechnen als mit Bruchzahlen. Diese Erkenntnis wird auch bei der Arbeit mit dem Taschenrechner berücksichtigt. Dein Taschenrechner erwartet von Dir Dezimalzahlen als Eingabe. Betrachten wir doch folgende einfache Beispiele, die uns gleichzeitig zum Üben mit dem Rechner dienen:
A.
1,5 + 2,05 = 3.55
B. 1,5 * 2,05 = 3.075
C. 1,35 + 2,05 = 3.4
D.
1,35 * 2,05 = 2.7675.
Das Beispiel D zeigt, dass der Taschenrechner uns beim Rechnen mit
Dezimalzahlen manchmal viele Stellen nach dem Komma(Punkt) anbietet.
Für den täglichen Einsatz reicht es oft aus, nur
zwei
Stellen hinter dem Komma anzugeben. Auf diese Weise erhalten wir ein brauchbares und
sinnvolles Resultat. Für den Fall D wäre das Ergebnis:
" 2.77 "
Für die sogenannte Rundung ist die nach der 5 folgende Zahl, also die nächstfolgende Zahl, von Bedeutung. Bei 0 bis 4 wird abgerundet -- für 5 bis 9 wird aufgerundet. Wegen der Ziffer 7 im Fall D ist also bei uns aufgerundet worden.
In dem folgenden Abschnitt
kommen wir zu
der für den Taschenrechner typischen Zahlenmenge, den reellen
Zahlen.
Bisher sind wir über die natürlichen
Zahlen und den ganzen
Zahlen
zu den rationalen Zahlen
gelangt.
Im Bereich der rationalen Zahlen können wir addieren,
subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Im Bereich der rationalen
Zahlen können wir aber nicht jede Wurzel ziehen. Diese Aussage
gilt zwar nicht
für √16
und sie gilt nicht
für √25, aber sie gilt für folgende
Quadratwurzeln
√2 oder √7. Die Zahl √7 ist
nämlich kein Bruch.
Deshalb müssen wir die rationalen Zahlen durch die so
genannten
irrationalen Zahlen erweitern. Auf diese Weise erhalten wir die Menge der reellen Zahlen.
Die reellen Zahlen bilden die Obermenge von allen von uns hier
behandelten Zahlen. Und genau das sind die Zahlen, mit denen der
Taschenrechner arbeitet! Er rechnet z.B. mit der Zahl π(Pi), was
ja
an sich ein Buchstabe des griechischen Alphabets ist. Für den
Taschenrechner ist π aber eine Konstante. Diese Konstante tritt
bei
der Berechnung einer von Kreisen umschlossenen Fläche auf. Pi oder
π
hat also mindestens zwei unterschiedliche Bedeutungen, einmal als
Konstante und einmal als Buchstabe im Alphabet. Wenn Du die Taste "Pi"
auf dem Rechner drückst, erscheint im Display: 3.141592654.
Gemäß unserer Vereinbarung runden wir den Wert auf
die
zweite Stelle nach dem Komma. Wir erhalten also:
" π=3.14 ",
was leicht zu merken ist.
Wird eine Zahl immer wieder
mit sich
selbst malgenommen, so nennt man den entstehenden Ausdruck eine Potenz.
Es gilt z.B.
7 * 7 * 7 = 7³.
Was Potenz genannt wird. 7
ist
also eine Potenz und wird 7 hoch 3 gelesen. Hierbei heißt die
Zahl 7 Grundzahl(Basis) und die Zahl 3 Hochzahl(Exponent) der Potenz.
Die Hochzahl gibt also an, wie oft die Grundzahl mit sich selbst
multipliziert werden soll. Beim Rechnen mit Potenzen stellen wir fest,
dass die Potenz einer positiven Grundzahl(Basis) immer positiv ist. Die
Potenz einer negativen Grundzahl ist für gerade Hochzahlen
auch
positiv, aber für ungerade Hochzahlen dagegen negativ:
3² = 9
3³ = 27
-3³ = -276
6² = 36
6³ = 216
-6³ = -216
Behalte also: Für uns ist eine mathematische Potenz das Produkt einer Anzahl gleicher Faktoren wie 9 mal 9 mal 9 gleich 729.
Das Wurzelziehen ist die
Umkehrung des
Potenzierens, denn viele Wurzeln lassen sich auf eine Potenz
zurückführen. So kannst Du die Grundzahl 9 aus der
Potenz 81
errechnen, indem Du die 2. Wurzel ziehst. Ebenso erhälst Du
aus
der
Potenz 625 die Grundzahl 25, wenn Du die 2. Wurzel ziehst. Auf dem
online verfügbaren Taschenrechner stehen anstelle des
mathematischen Symbols √ die Buchstaben Sqr. Dabei steht Sqr
für das englische Wort square, was mit "Quadrat"
übersetzt
wird. Das soll "Quadratwurzel" bedeuten. Es gilt:
√4= 2, da 2² = 4 ist.
√49= 7, da 7² = 49 ist.
√0,36 = 0,6, da (0,6)² = 0,36
ist.
weiterhin gilt: √0 = 0.
Die Wurzel von -9, also der Ausdruck √-9 läßt sich nicht lösen, da eine solche Zahl in der Menge der reellen Zahlen nicht definiert ist. Es gibt eben keine reelle Zahl, deren Quadrat -9 ist. Behalte also: Das Berechnen des Wertes einer Wurzel heißt Wurzelziehen und gelingt nur für nicht negative reelle Zahlen.
Die Funktionstasten für x und x² finden sich auch auf einfachen Rechnern. Ebenso die Funktionstaste für 1/x. Die Zahl 1/x wird der Kehrwert oder der reziproke Wert einer Zahl genannt, was das Gleiche ist. Mit der Funktionstaste 1/x berechnet der Taschenrechner den reziproken Wert der angezeigten Zahl. Zur Übung sollen die folgenden Beispiele mit dem für Dich bereitgestellten Rechner unter Einsatz der Reziproktaste gelöst werden:
und genauso: 1/2,5 + 1/3,6 = 0,68
1/6,5 + 1/5,8 + 1/4,2 = 0,56
1/4 - 1/6,6 = 0,098484... = 0,10.
Für diese Aufgaben haben wir die gebräuchliche Methode, Dezimalstellen zu kürzen, herangezogen. Wir haben das Ergebnis auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet und damit entsprechend dem Wert der vorliegenden Ziffer aufgerundet ( 5 bis 9 ) oder abgerundet ( 0 bis 4 ).
Die umfangreicheren Rechner für wissenschaftliche Arbeiten enthalten auch die Tasten log und ln und die Möglichkeit der entsprechenden Berechnungen. Der vorliegende, für Demonstrationszwecke gedachte Online-Rechner, liefert uns den "Luxus", solche Aufgaben zu lösen, leider nicht. Viele preisgünstige elektronische Taschenrechner aber bieten solchen Service. Für Benutzer dieser Rechner ist der vorliegende Text gedacht.
Log bezeichnet den dekadischen oder gemeinen Logarithmus.. Die Exponentialfunktion:
log ₁₀16 = lg 16
es gilt also: log = lg.
lg 16 = 1,2 lg 160 = 2,2 lg 1600 = 3,2
und lg 6 = 0,78
A. Wenn die Batterie Deines Taschenrechners zu schwach ist, kannst Du die Anzeige im Display nicht erkennen und Dein Rechner könnte falsche Ergebnisse liefern.
B. Führe eine "Plausibilitätsbetrachtung" für Dein Resultat durch, so kannst Du die Ergebnisse mit und ohne Rechner vergleichen. Beide dürfen sich nicht zu stark voneinander unterscheiden.
C. Vor Beginn Deiner Eingabe in den Rechner sollten alle Werte auf dem Display und im Speicher gelöscht sein!
D. Studiere die Bedienungsanleitung Deines eigenen elektronischen Taschenrechners sorgfältig, damit Du ihn richtig und optimal einsetzen kannst. Ist Prozentrechnung möglich. Welche Tasten sind doppelt belegt? Ist Klammerung bei den Berechnungen erlaubt? Und schließlich:: "Verrechnet" er sich manchmal auf Grund von Fehlfunktionen? ...
Wenn Du es (immerhin sind es sieben Abschnitte) bis hier geschafft hast. Herzlichen Glückwunsch! Gönne Dir eine Pause zur Entspannung.
Update und Ergänzung im April 2007.